第19章
丘賽總決賽在中關村的一棟學術大樓裡舉行。
全國三十六所高校，七十二名選手。
進場的時候，我注意到一個細節——簽到表上每個人的名字旁邊都標注了學校和年級。
大部分選手是大三大四，研究生也不少。
大一的，隻有我一個。
簽到台的誌願者看了我一眼。
“林北……華北理工……大一？”
“嗯。”
她多看了我兩眼，沒說什麼。
候場區裡，趙天翔在角落做最後的複習。我坐在他旁邊，但沒帶任何資料。
“你不看看？”
“看了也記不住。該會的都會了，不會的臨時抱不了佛腳。”
他搖了搖頭，但合上了自己的筆記本。
“也是。”
比賽分四個方向：代數、分析、幾何、數論。每個方向五道題，選手任選一個方向。
我選了分析。
趙天翔選了幾何。
分析方向的考場在五樓，一間普通的教室，二十三個選手，五道題，三個半小時。
拿到試卷的瞬間，我快速瀏覽了五道題。
前三道是標準難題，高水平選手都能做。
第四道涉及微分方程的定性分析，需要構造Lyapunov函數。有一定技巧性，但不算極難。
第五道——
我看了三遍題麵。
心跳加速了。
這道題的核心是一個無窮級數的收斂性判定，但條件給得極其刁鑽——標準的比較判別法、積分判別法全部失效。
這是一道需要“發明新方法”的題。
三個半小時。
我用了兩個小時做完前四道。
剩下一個半小時，全部給了第五題。
我在草稿紙上嘗試了七種不同的途徑。
第一種：Abel求和。失敗。
第二種：構造Cesaro均值。失敗。
第三種：Tauberian定理。走了一半，卡住了。
第四種：轉化為積分，用漸近分析。走了一大半，在尾項估計上出了問題。
第五種：把級數看成隨機變量的期望——概率化方法。有趣，但太耗時間，放棄。
第六種：把收斂性翻譯成函數空間裡的範數有界性。走了三步，發現本質上等價於第四種方法，放棄。
第七種——
我停下筆，閉上眼睛。
腦子裡把之前六種方法的失敗原因過了一遍。每種方法失敗的位置不同，但有一個共同點——都卡在了尾項行為的精確估計上。
尾項。
尾項的行為取決於級數的漸近結構。
漸近結構……
我睜開眼，拿起筆。
如果我不去估計尾項，而是把整個級數分成有限段和尾部，用對有限段的精確計算來“鎖定”尾部的行為呢？
具體來說——構造一個截斷算子，把級數在第N項截斷，證明截斷後的有限和滿足某個遞推關係，然後利用遞推結構的穩定性來控製尾部。
遞推結構。
又是遞推結構。
我的老朋友。
筆像是有了自己的意誌，在紙上飛速推導。
截斷——遞推——穩定性——上界——
最後一步。
我需要一個關於遞推序列漸近行為的引理。
這個引理我在兩個月前做過——在備戰訓練中，周國強布置的一道習題裡。
完美銜接。
我寫完最後一行推導，額頭上全是汗。
放下筆，看了一眼時間。
還剩三分鐘。
三個半小時，五道題，全部完成。
走出考場的時候，走廊裡的選手們在交流答案。
“第五題誰做出來了？”
“想都沒想。那道題根本不是人做的。”
“我第三種方法走了一半就放棄了——”
“據說出題人自己都說這是整套卷子最難的一道。”
趙天翔在樓梯口等我。
“第五題做了嗎？”
“做了。”
“做出來了？”
“做出來了。”
他的眼睛微微睜大。
“用什麼方法？”
“遞推截斷。”
他沉默了三秒。
“你還是你。”
下午是口試環節。
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